Question

4．已知△ABC中，AB=1，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=2，当角C最大时，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 建立坐标系如图，设∠CAD=θ，∠ABC=β，∠BCA=α，根据向量的几何意义可得AD=2，分别求出tanθ=$\frac{y}{2}$，tanβ=$\frac{y}{3}$，利用两角和的正切公式，求出tanα的最大值，即可求出△ABC的面积．

解答 解：建立坐标系，如图，
设∠CAD=θ，∠ABC=β，∠BCA=α，C（x，y）（y＞0），
∵$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=2，∴b•cos（π-θ）=2，即b•cosθ=-2．
∴$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影-2，
∴AD=2，
∴tanθ=$\frac{y}{2}$，tanβ=$\frac{y}{3}$，
∴tanθ=-tan∠BAC=-tan[π-（α+β）]=tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，
∴$\frac{y}{2}=\frac{tanα+\frac{y}{3}}{1-\frac{y}{3}tanα}$，
∴tanα=$\frac{\frac{y}{6}}{\frac{{y}^{2}}{6}+1}$=$\frac{1}{y+\frac{6}{y}}$$≤\frac{1}{2\sqrt{y•\frac{6}{y}}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$，当且仅当y=$\sqrt{6}$时取等号，
∴$（{S}_{△ABC}）_{max}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了向量的几何意义，以及解三角形和正切函数的和差公式，基本不等式，属于中档题．