Question

3．已知圆C：（x+1）²+y²=4和圆外一点A（1，2$\sqrt{3}$）．
（1）若直线m经过原点O，且圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，求直线m的方程；
（2）若经过A的直线l与圆C相切，求切线l的方程．

Answer 1

分析 （1）圆C的圆心为（-1，0），半径r=2，圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，则圆心到直线m的距离恰为1，由于直线m经过原点，圆心到直线m的距离最大值为1．所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC的直线，故直线方程可求；
（2）先假设直线方程，再利用点线距离等于半径求解，需注意斜率不存在时也成立．

解答 解：（1）圆C的圆心为（-1，0），半径r=2，圆C上恰有三个点到直线m的距离为1
则圆心到直线m的距离恰为1…（2分）
设直线方程为y=kx，d=$\frac{|-k-0|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，k无解…（3分）
直线斜率不存在时，直线方程为x=0显然成立，所以所求直线为x=0…（5分）
（2）设直线方程为y-2$\sqrt{3}$=k（x-1），d=$\frac{|-2k+2\sqrt{3}|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=2，k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所求直线为y-2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x-3y+5$\sqrt{3}$=0…（6分）
斜率不存在时，直线方程为x=1…（7分）．

点评 本题主要考查直线与圆轭位置关系，要充分利用圆的特殊性简化解题．