Question

8．在平面直角坐标系中，定点M（1，0），两动点A，B在双曲线x²-3y²=3的右支上，则cos∠AMB的最小值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，求出双曲线的右顶点坐标，过M（1，0）向双曲线引切线，两条切线所夹的角为符合题意的∠AMB最大角，当∠AMB最大时，它的余弦值cos∠AMB取最小值．

解答 解：根据题意，双曲线x²-3y²=3的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，其右顶点的坐标为（$\sqrt{3}$，0）；
过M（1，0）向双曲线引切线，设切点分别为A，B，
若两条切线所夹的角为∠AMB最大角．由余弦函数的性质知，当∠AMB最大时，cos∠AMB取最小值．
设切线的斜率为k，切线方程为y=k（x-1），
将y=k（x-1）代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1中，可得$\frac{{x}^{2}}{3}$-k²（x-1）²=1，
即（1-3k²）x²+6k²x-3k²-3=0，
△=36k?+12（k²+1）（1-3k²）=0
整理：1-2k²=0，
解可得k²=$\frac{1}{2}$，
设∠AMB=2θ，则有tan²θ=k²=$\frac{1}{2}$，
cos2θ=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{3}$，
即cos∠AMB的最小值是$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，涉及三角函数中角的余弦值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．