Question

7．若关于x的不等式ax²-|x|+2a＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 将不等式进行等价转化为 a＜$\frac{1}{|x|+\frac{2}{|x|}}$，∵解集为空集时，得到a大于或等于$\frac{1}{|x|+\frac{2}{|x|}}$，的最大值，利用基本不等式求出$\frac{1}{|x|+\frac{2}{|x|}}$ 的最大值．

解答 解：由已知不等式得到 a＜$\frac{|x|}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{|x|+\frac{2}{|x|}}$，∵此不等式解集为∅，
∴a≥$\frac{1}{|x|+\frac{2}{|x|}}$  的最大值．又|x|+$\frac{2}{|x|}$≥2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{|x|+\frac{2}{|x|}}$  的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想．