Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac．
（1）求B的大小；
（2）求$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可求出．
（2）利用三角形内角和定理结合三角函数的有界限求解最大值．

解答 解：（1）由题意，a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac．
余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}ac}{2ac}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{4}$，
（2）∵A+B+C=π，B=$\frac{π}{4}$，
则C=$\frac{3π}{4}-A$．
那么：$\sqrt{2}$cosA+cosC=$\sqrt{2}$cosA+cos（$\frac{3π}{4}-A$）=$\sqrt{2}cosA-\frac{\sqrt{2}}{2}cosA+\frac{\sqrt{2}}{2}sinA$=sin（A+$\frac{π}{4}$）．
∵$0＜A＜\frac{3π}{4}$
∴$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜π
当A$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，取得最大值为1．
即$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值1．

点评 本题考查了三角函数性质的运用和余弦定理，三角形内角和定理的计算．