Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）有唯一的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可；
（2）若函数f（x）有唯一的零点，等价于alnx=$\frac{1}{x}$有唯一的实根，构造函数φ（x）=xlnx，研究函数的图象求实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，（x＞0），
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（0，1）递减；
（2）问题等价于alnx=$\frac{1}{x}$有唯一的实根，
显然a≠0，则关于x的方程xlnx=$\frac{1}{a}$有唯一的实根•…（6分）
构造函数φ（x）=xlnx，则φ'（x）=1+lnx，
由φ'（x）=1+lnx=0，得x=e^-1
当0＜x＜e^-1时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减
当x＞e^-1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增
所以φ（x）的极小值为φ（e^-1）=-e^-1•…（8分）
如图，作出函数φ（x）的大致图象，

则要使方程xlnx=$\frac{1}{a}$的唯一的实根，
只需直线y=$\frac{1}{a}$与曲线y=φ（x）有唯一的交点，
则$\frac{1}{a}$=-e-1或$\frac{1}{a}$＞0，
解得：a=-e或a＞0，
故实数a的取值范围是{-e}∪（0，+∞）…（12分）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，本题是一道综合题．