Question

20．已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）当x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式和二倍角，辅助角公式化简，即可求出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据化简的解析式，结合三角函数的图象及性质即可求函数f（x）的单调递减区间；
（3）当x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，求出内层函数的范围，结合三角函数的图象及性质即可求函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+sin2x+3×（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x）=sin2x+cos2x+2=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2
（1）数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由$2kπ+\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{8}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]k∈z$
（3）∵x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，
可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$时，f（x）取得最大值为：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2$=3．
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，f（x）取得最小值为：$-\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$+2=1．
故得当x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，函数f（x）的最大值为3，最小值为1．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．