Question

16．若函数$f（x）=\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}{x^2}+x+1$在区间$[\frac{1}{2}，3]$上单调递减，则实数a的取值范围是[$\frac{10}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥x+$\frac{1}{x}$在区间$[\frac{1}{2}，3]$恒成立，构造g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，3）根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}{x^2}+x+1$，
∴f′（x）=x²-ax+1，
若函数f（x）在区间$[\frac{1}{2}，3]$上递减，
故x²-ax+1≤0在区间$[\frac{1}{2}，3]$恒成立，
即a≥x+$\frac{1}{x}$在区间$[\frac{1}{2}，3]$恒成立，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，3），
g′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，3）递增，
而g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，g（3）=$\frac{10}{3}$，
故a≥$\frac{10}{3}$
故答案为：[$\frac{10}{3}$，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值，函数恒成立问题的求解方法，是中档题．