Question

6．（在复数范围内）解方程|z|+（z+$\overline{z}$）i=$\frac{3-i}{2+i}$，求解复数z．

Answer 1

分析 设z=a+bi（a，b∈R），代入|z|+（z+$\overline{z}$）i=$\frac{3-i}{2+i}$，化简后利用复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），
则由|z|+（z+$\overline{z}$）i=$\frac{3-i}{2+i}$，
可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+2ai=$\frac{（3-i）（2-i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{5-5i}{5}=1-i$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=1}\\{2a=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
∴z=$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 或z=$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．