Question

14．已知函数f（x）=e^x-ax²-x-1（a∈R）恰有两个极值点x₁，x₂（其中x₁＜x₂），且f（x₂）=0，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{2}）$
• B． （0，1）
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． $（\frac{1}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）=0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．

解答 解：令g（x）=f′（x）=e^x-2ax-1，则方程e^x-2ax-1=0有两不等实根，
即直线y=2ax+1与函数y=e^x的图象有两个交点，
易得其中一个交点为（0，1），而f（0）=0，∴x₁＜0，x₂=0，
当直线y=2ax+1与函数y=e^x的图象相切于点（0，1）时，2a=e⁰=1，即$a=\frac{1}{2}$，
故由图象知，a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）$，
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．