Question

19．已知函数f（x）=Asin（wx+φ）+B（A＞0，w＞），|φ|＜$\frac{π}{2}$） 的部分图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式和对称中心坐标；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y=g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由图象可求A，B，T，利用周期公式可得ω，由图象及五点法作图可求φ，即可得解f（x）的函数解析式，令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得f（x）的对称中心的坐标．
（2）由已知的图象变换过程可得g（x）=2sin（x+$\frac{2π}{3}$），结合x的范围，可求x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由图象可知$\left\{\begin{array}{l}{A+B=1}\\{-A+B=-3}\end{array}\right.$，可得：A=2，B=-1，…（2分）
又由于$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$，可得：T=π，
所以$ω=\frac{2π}{T}$=2，…（3分）
由图象及五点法作图可知：2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{3}$，
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．…（4分）
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以f（x）的对称中心的坐标为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，-1），k∈Z．…（6分）
（2）由已知的图象变换过程可得：g（x）=2sin（x+$\frac{2π}{3}$），…（8分）
因为x∈[0，$\frac{7π}{6}$]，所以x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{6}$]，…（10分）
所以当x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，得x=$\frac{5π}{6}$时，g（x）取得最小值g（$\frac{5π}{6}$）=-2，…（11分）
当x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即x=0时，g（x）取得最大值g（0）=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数平移变换的规律，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．