Question

3．已知函数f（x）=e^x-ax有两个零点x₁＜x₂，则下列说法正确的个数是（　　）
①a＞e；②x₁+x₂＞2；③x₁x₂＞1；④函数f（x）有极小值点x₀，x₁+x₂＜2x₀．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于①：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e，
对于②根据对数的运算性质判断即可，
对于③：f（0）=1＞0，0＜x₁＜1，x₁x₂＞1不一定，
对于④：f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
①当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∵函数f（x）=e^x-ax有两个零点x₁＜x₂，
∴f（lna）＜0，a＞0，
∴e^lna-alna＜0，
∴a＞e，①正确；
∵x₁+x₂=ln（a²x₁x₂）=2lna+ln（x₁x₂）＞2+ln（x₁x₂），
取a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，f（2）=e²-2a=0，
∴x₂=2，f（0）=1＞0，
∴0＜x₁＜1，
∴x₁+x₂＞2，②正确；
f（0）=1＞0，
∴0＜x₁＜1，x₁x₂＞1不一定，③不正确；
f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，
∴有极小值点x₀=lna，且x₁+x₂＜2x₀=2lna，④正确．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．