Question

12．某学校对学生的考试成绩作抽样调查，得到成绩的频率分布直方图如图所示，记[90，100]为A组，[80，90）为B组，[70，80）为C组，其中A组与[40，50）对应的数值相同，B组与[60，70）对应的数值相同，[70，80）对应的数值被污损，记为x．
（1）求x的值，并估计众数、中位数和平均数；
（2）用分层抽样的办法从[90，100]，[80，90），[70，80）三个分数段的学生中抽出6人参加比赛，从中任选3人为正选队员，求正选队员中有A组学生的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出x=0.03，从而能求出众数、中位数、平均数．
（2）用分层抽样的办法从[90，100]，[80，90），[70，80）三个分数段的学生中抽出6人参加比赛，[90，100]分数段的学生抽出1人，[80，90）分数段的学生抽出2人，[70，80）分数段的学生抽出3人，由此能求出正选队员中有A组学生的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
（0.01+0.01+0.02+x+0.02+0.01）×10=1，
解得x=0.03．
众数为：$\frac{70+80}{2}=75$，
∵[40，70）的频率为（0.01+0.01+0.02）×10=0.4，
[70，80）的频率为0.03×10=0.3，
∴中位数为：70+$\frac{0.5-0.4}{0.3}×10$=$\frac{220}{3}$．
平均数为：$\overline{x}$=0.01×10×45+0.01×10×55+0.02×10×65+0.03×10×75+0.02×10×85+0.01×10×95=72．
（2）用分层抽样的办法从[90，100]，[80，90），[70，80）三个分数段的学生中抽出6人参加比赛，
[90，100]分数段的学生抽出：6×$\frac{0.01}{0.01+0.02+0.03}$=1人，
[80，90）分数段的学生抽出：6×$\frac{0.02}{0.01+0.02+0.03}$=2人，
[70，80）分数段的学生抽出：6×$\frac{0.03}{0.01+0.02+0.03}$=3人，
从中任选3人为正选队员，基本事件总数n=${C}_{6}^{3}$=20，
正选队员中有A组学生包含的基本事件个数m=${C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}$=5，
∴正选队员中有A组学生的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查频率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、古典概型的合理运用．