Question

16．已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）的最小值为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．利用导数研究函数的单调性即可得出极值与最值．
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$．x∈（0，e]．对a分类讨论：①a≤0时；②a＞0时，f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$．x∈（0，e].$0＜a≤\frac{1}{e}$时，$a＞\frac{1}{e}$时，利用导数研究函数的单调性即可得出极值与最值即可得出．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]，
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，f（1）=1．
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$．x∈（0，e]．
①a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，e]上单调递减．
∴x=e时函数f（x）取得最小值，f（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$＞0，舍去．
②a＞0时，f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$．x∈（0，e]．
$0＜a≤\frac{1}{e}$时，$\frac{1}{a}$≥e．f′（x）≤0，此时函数f（x）在（0，e]上单调递减．
∴x=e时函数f（x）取得最小值，f（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$＞0，舍去．
$a＞\frac{1}{e}$时，0＜$\frac{1}{a}$＜e，可得函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上单调递减，在$（\frac{1}{a}，e]$上单调递增．
∴x=$\frac{1}{a}$时函数f（x）取得最小值，f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，解得a=e²＞$\frac{1}{e}$，满足条件．
综上可得：a=e²．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．