Question

4．已知函数f（x）=e^x-ax-1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（Ⅲ）求证：$ln[{1+\frac{2×3}{{{{（3-1）}^2}}}}]+ln[{1+\frac{{2×{3^2}}}{{{{（{3^2}-1）}^2}}}}]+…+ln[{1+\frac{{2×{3^n}}}{{{{（{3^n}-1）}^2}}}}]＜2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，a-alna-1≥0对a＞0恒成立，即可求实数a的值；
（Ⅲ）要证原不等式成立，只需证：$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{2×3k}{{（3k-1）}^{2}}$＜2，即证：$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{3k}{{（3k-1）}^{2}}$＜1．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=e^x-a（1分）
∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．      （2分）
a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）_min=f（lna），∴f（lna）≥0（5分）
即a-alna-1≥0，记g（a）=a-alna-1（a＞0），∵g′（a）=1-（lna+1）=-lna，∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减，∴g（a）≤g（1）=0
故g（a）=0，得a=1（18分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）e^x≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞-1），则x＞0时，ln（1+x）＜x
要证原不等式成立，只需证：$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{2{×3}^{k}}{{{（3}^{k}-1）}^{2}}$＜2，即证：$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{3}^{k}}{{{（3}^{k}-1）}^{2}}$＜1，
下证 $\frac{{3}^{k}}{{{（3}^{k}-1）}^{2}}$≤$\frac{2}{{3}^{k}-1}$-$\frac{2}{{3}^{k+1}-1}$ ①（9分）
?$\frac{{3}^{k}}{{3}^{2k}-2{•3}^{k}+1}$≤$\frac{4{•3}^{k}}{3{•3}^{2k}-4{•3}^{k}+1}$
?4（3^2k-2•3^k+1）≥3•3^2k-4•3^k+1
?3^2k-4•3^k+3≥0?（3^k-1）（3^k-3）≥0，
①中令k=1，2，…，n，各式相加，
得 $\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{3}^{k}}{{{（3}^{k}-1）}^{2}}$＜（ $\frac{2}{{3}^{1}-1}$-$\frac{2}{{3}^{2}-1}$）+（ $\frac{2}{{3}^{2}-1}$-$\frac{2}{{3}^{3}-1}$）+…+（ $\frac{2}{{3}^{n}-1}$-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$）
=$\frac{2}{{3}^{1}-1}$-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$＜1成立，
故原不等式成立．                                               （14分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．