Question

15．对正整数n，记f（n）为数3n²+n+1用十进制表示时各数位数字的和，如n=2时，3n²+n+1=15，从而f（2）=6；n=10时，3n²+n+1=311，从而f（10）=5．
（1）求f（7），f（8）．
（2）求f（n）的最小值．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，
（2）f（n）的最小值为3，根据题意证明即可．

解答 解（1）f（7）=11，f（8）=3．
（2）f（n）的最小值为3．
证明如下：3n²+n+1=n（3n+1）+1，由n与3n+1的奇偶性相反，知n（3n+1）+1是大于3的奇数，
从而f（n）≠1；                                  
若f（n）=2，则3n²+n+1只能是首位和末位为1，其余数字为0，即3n²+n+1=10^k+1，
又k=1时，n不存在，从而k≥2．n（3n+1）=2^k5^k．
由n与3n+1的最大公约数为1，（若设n与3n+1有公约数m，n=pm，3n+1=qm，
其中m，n，p，q∈N^*，可得（q-3p）m=1，只有m=1），
所以n=2^k，3n+1=5^k，但n=2^k，3n+1=5^k，时n=2^k，3n+1=5^k，所以f（n）≠2
又f（8）=3，所以f（n）的最小值为3．

点评 本题考查了十进制的问题，以及推理证明，考查了学生的转化能力，属于难题．