Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a，x＜0}\\{-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （-2，$\frac{1}{4}$）
• D． （-∞，-2）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，令$\frac{1}{{x}_{2}}=t$，从而得出a=$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1 ①，$-\frac{2}{{x}_{2}}$=-x₁²+a ②，
且x₁∈（-$\frac{1}{2}$，1），可得x₂∈（0，1），消去x₁ 得：
$-\frac{（\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}-1）^{2}}{2}+a=-\frac{2}{{x}_{2}}$，令$\frac{1}{{x}_{2}}=t$，则a=$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，
构造函数g（t）=$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，t∈（0，1），
g′（t）=t³-t-2．
g′′（t）=3t²-1，由3t²-1=0，解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去），
∴g′（t）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）上单调递增，
又g′（0）＜0，g′（1）＜0，
∴g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（x）∈（-2，$\frac{1}{4}$）．
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围是（-2，$\frac{1}{4}$）．
故选：C．

点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属难题．