Question

17．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积．若三角形的三边长为a，b，c，其面积S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$，这里p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），已知在△ABC中，BC=6，AB=2AC，其面积取最大值时sinA=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 设b=x，则c=2x，根据海伦面积公式得S_△ABC的解析式，由三角形三边关系求得2＜x＜6，由二次函数的性质求得S_△ABC取得最大值，从而求出sinA的值即可．

解答 解：∵a=6，设b=x，则c=2x，可得：p=$\frac{1}{2}$（a+b+c）=3+$\frac{3x}{2}$，
∴S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$=$\sqrt{（3+\frac{3}{2}x）（\frac{3}{2}x-3）（3+\frac{1}{2}x）（3-\frac{1}{2}x）}$=$\sqrt{144-{\frac{9}{16}{（x}^{2}-20）}^{2}}$
由三角形三边关系有：x+2x＞6且x+6＞2x，解得：2＜x＜6，
故当 x=2$\sqrt{5}$时，S_△ABC取得最大值12．
由$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$sinA=12，解得：sinA=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了二次函数的性质和海伦面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，考查了转化思想，属于中档题．