Question

2．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（{π-x}）cosx+2co{s^2}$x+a-1．
（1）求f（x）的对称轴；
（2）若f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上的最大值与最小值的和为2，求a的值．
（3）若f（x）=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式和降次公式，辅助角公式化简f（x），结合三角函数的性质即可求f（x）的对称轴；
（2）x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，求出内层范围，求出f（x）的最值，根据最大值与最小值的和为2，可得a的值；
（3）由f（x）=0，结合三角函数的性质值域范围，即可求解；

解答 解：函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（{π-x}）cosx+2co{s^2}$x+a-1．
化简可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+a
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a．
（1）对称轴方程：2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
可得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，
∴f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）∵x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
当2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为$-\frac{1}{2}×2+a$=a-1，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为2×1+a=a+2．
∵最大值与最小值的和为2，即a-1+a+2=2，
∴a=$\frac{1}{2}$，
（3）f（x）=0有解，即0=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a．
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-a，
∵-2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2．
∴a的取值范围[-2，2]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．