Question

12．已知函数$f（x）=\frac{x^e}{e^x}$，g（x）=xlnx-x+1，正实数m，n满足|mf（x₁）-ng（x₂）|≤1对任意的x₁，x₂∈[1，e]恒成立，则m+n的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{e}+1$
• B． e+1
• C． 2e+1
• D． $\frac{1}{e}+2$

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为ng（x₂）-1≤mf（x₁）≤ng（x₂）+1，求出m+n的最大值即可．

解答 解：$f′（x）=\frac{{{x^{e-1}}（e-x）}}{e^x}$，g′（x）=lnx，
当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，g′（x）≥0，
∴f（x），g（x）在[1，e]上单调递增，
∴$f（x）∈[\frac{1}{e}，1]$，g（x）∈[0，1]，
|mf（x₁）-ng（x₂）|≤1
?ng（x₂）-1≤mf（x₁）≤ng（x₂）+1，
依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{mf{{（x）}_{max}}≤ng{{（x）}_{min}}+1}\\{mf{{（x）}_{min}}≥ng{{（x）}_{max}}-1}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{m≤1}\\{\frac{m}{e}≥n-1}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{m≤1}\\{en-m≤e}\end{array}}\right.$，
∴$m+n=\frac{1}{e}（en-m）+（1+\frac{1}{e}）m≤2+\frac{1}{e}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．