Question

10．某校高三月考过后，化学组老师从高三年级1000名学生中抽出了20人的化学成绩（满分：100分），作为样本进行分析，将成绩按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组：[60，70），…，第五组[90，100）．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此求这20位学生化学成绩的平均数，中位数，众数；
（2）估计该校高三年级这次月考中化学成绩超过80分的人数；
（3）样本中，从化学成绩在80分以上（包括80分）的学生中人选2人，求至少有1人成绩在90-100分数段的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图，能求出这20位学生化学成绩的平均数，中位数，众数．
（2）由频率分布直方图求出化学成绩超过80分的频率，由此能估计该校高三年级这次月考中化学成绩超过80分的人数．
（3）由频率分布直方图求出样本中，从化学成绩在80分以上（包括80分）的学生有20×0.4=8，其中化学成绩在[80，90）的有6人，化学成绩在[90，100]的有2人，由此能求出至少有1人成绩在90-100分数段的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
这20位学生化学成绩的平均数为：
$\overline{x}$=55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.03×10+95×0.01×10=76．
∵化学成绩在[50，70）内的频率为：（0.01+0.02）×10=0.3，
化学成绩在[70，80）内的频率为：0.03×10=0.3，
∴这20位学生化学成绩的中位数为：
70+$\frac{0.5-0.3}{0.3}×10$=$\frac{230}{3}$．
∵化学成绩在[70，90）内的小矩形最高，
∴这20位学生化学成绩的众数为：$\frac{70+90}{2}$=80．
（2）由频率分布直方图得化学成绩超过80分的频率为：（0.03+0.01）×10=0.4，
∴估计该校高三年级这次月考中化学成绩超过80分的人数为：1000×0.4=400．
（3）由频率分布直方图得化学成绩超过80分的频率为：（0.03+0.01）×10=0.4，
∴样本中，从化学成绩在80分以上（包括80分）的学生有20×0.4=8，
其中化学成绩在[80，90）的有：0.03×10×20=6人，
化学成绩在[90，100]的有：0.01×10×20=2人
从化学成绩在80分以上（包括80分）的学生中人选2人，
基本事件总数n=${C}_{8}^{2}$=28，
至少有1人成绩在90-100分数段的对立事件是2人成绩都在[80，90）内，
∴至少有1人成绩在90-100分数段的概率：
p=1-$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{13}{28}$．

点评 本题考查平均数、中位数、众数、频数、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分直方图、等可能事件概率计算公式的合理运用．