Question

13．已知两函数$f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），g（x）=\sqrt{3}（x-b）（x-c）$，a＜b＜c，f′（a）=f′（c）
（1）求证：三数a、b、c成等差数列；
（2）$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x≤b}\\{g（x），x＞b}\end{array}}\right.$假设对一切实数x，F（x）≤f（x）恒成立，函数F（x）取极大值和极小值时对应点分别为M和N，
①求直线MN的斜率；
②记函数G（x）=f（x）-g（x），如果满足集合{y|y=G（x），b≤x≤c}={y|y=G（x），b≤x≤0}的最大实数b的值是B，求实数B．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据f′（a）=f′（c），化简整理可得a+c=2b，继而可以证明，
（2）①根据导数和函数的单调性，求出M，N的坐标，根据斜率公式计算即可，
②先求导，判断出函数的单调性，根据函数的单调性和最值得关系，分类讨论求出即可．

解答 解：（1）证明：f（x）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，
∵f′（a）=f′（c），f′（x）=3x²-2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
∴3a²-2（a+b+c）a+（ab+bc+ac）=3c²-2（a+b+c）c+（ab+bc+ac），
∴a²-c²=2b（a-c），
又∵a≠c，
∴a+c=2b
∴三数a、b、c成等差数列；                       
（2）①当x≤b时，显然成立
当x＞b时，$f（x）-F（x）=（x-\sqrt{3}-a）（x-b）（x-c）≥0$，
∴$（x-\sqrt{3}-a）（x-c）≥0$
若$a+\sqrt{3}＜c$，则取x＞b且$x∈（a+\sqrt{3}，c）$，则左边＜0，矛盾
若$a+\sqrt{3}＞c$，同理，不成立，
∴$a+\sqrt{3}=c$，
又a+c=2b，所以$\left\{{\begin{array}{l}{a=b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{c=b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，$f（x）={x^3}-3b{x^2}+（3{b^2}-\frac{3}{4}）x-{b^3}+\frac{3}{4}b$
由${f^'}（x）=3{x^2}-6bx+（3{b^2}-\frac{3}{4}）=0$得${x_1}=b-\frac{1}{2}，{x_2}=b+\frac{1}{2}$，列表

x	$（-∞，b-\frac{1}{2}）$	$b-\frac{1}{2}$	$（b-\frac{1}{2}，b+\frac{1}{2}）$	$b+\frac{1}{2}$	$（b+\frac{1}{2}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

同理g（x）在上$（-∞，b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$单调递减，在$（b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}，+∞）$单调递增，
∴F（x）在$（-∞，b-\frac{1}{2}）$上单调递增，在$（b-\frac{1}{2}，b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$上单调递减，
在$（b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}，+∞）$单调递增                                         
∴$M（b-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}），N（b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}，-\frac{{3\sqrt{3}}}{16}）$，
∴$k=-\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$
②$G（x）=（x-\sqrt{3}-a）（x-b）（x-c）=（x-b）{（x-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}$，
∴${G^'}（x）={（x-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+2（x-b）（x-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=0$，得$x=b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}，x=b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
与①同理G（x）在$（-∞，b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}）$上单调递增，在$（b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}，b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$上单调递减，
∴在[b，c]上，$G（x）∈[{0，G（b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}）}]=[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{18}}]$，
若$b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}＞0$，则在[b，0]上恒单调递增，且[b，0]是$[{b，b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}}]$的真子集，
∴$G（0）＜G（b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}）$，从而G（x）取不到$\frac{{\sqrt{3}}}{18}$，矛盾
则$b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}≤0$，即$b≤-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
当$b=-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$时，$G（x）∈[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{18}}]$，成立
当$b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤0$时，$b≤-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，不必考虑
∴$B=-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

点评 本题考查了导数和函数的单调性以及最值的关系，考查了转化能力和运算能力，属于难题．