Question

4．设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{h}$分别表示向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PH}$，已知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}•$$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{h}$，$|{\overrightarrow{AH}}|=1$，$|{\overrightarrow{BH}}|=\sqrt{2}$，$|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{3}$，点O是△ABC外接圆的圆心，则△AOB，△BOC，△AOC的面积之比为1：$\sqrt{3}$：2．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积运算律可得H为△ABC的垂心，根据三角形相似列方程可得出△的三个内角，从而得出三个圆心角的大小，故可得出三个小三角形的面积比．

解答 解：由题知$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PH}$$⇒\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}）+\overrightarrow{PH}•（\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}）=0⇒\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{HB}=0$，
同理可得$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{HA}=0$，故H是△ABC的垂心，
设∠CAD=θ，则AE=cosθ，EH=sinθ，$BD=\sqrt{2}cosθ，DH=\sqrt{2}sinθ$，
由$\frac{CD}{HE}=\frac{AD}{AE}⇒CD=sinθ•\frac{{1+\sqrt{2}sinθ}}{cosθ}$，
∴BC=BD+CD=$\sqrt{2}cosθ+\frac{{sinθ+\sqrt{2}{{sin}^2}θ}}{cosθ}=\sqrt{3}$，
即$\sqrt{3}cosθ-sinθ=\sqrt{2}⇒cos（θ+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$θ=\frac{π}{12}$，∴$C=\frac{5π}{12}$，
又$AD=1+\sqrt{2}sinθ$，$BD=\sqrt{2}cosθ$，则$AD-BD=1+2sin（θ-\frac{π}{4}）=0$，∴$B=\frac{π}{4}$，
从而$A=\frac{π}{3}$，于是$∠AOB=2∠C=\frac{5π}{6}，∠BOC=2∠A=\frac{2π}{3}，∠AOC=2∠B=\frac{π}{2}$，
故${S_{△AOB}}：{S_{△BOC}}：{S_{△AOC}}=sin\frac{5π}{6}：sin\frac{2π}{3}：sin\frac{π}{2}=\frac{1}{2}：\frac{{\sqrt{3}}}{2}：1=1：\sqrt{3}：2$，
故答案为：1：$\sqrt{3}$：2．

点评 本题考查了平面向量的再几何中的应用，三角形的几何计算，属于中档题．