Question

16．在三棱锥A-BCD中，AB=2$\sqrt{6}$，△ACD和△BCD均是边长为4的等边三角形，则三棱锥外接球的表面积为$\frac{80π}{3}$．

Answer 1

分析 取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后计算球的表面积．

解答 解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，
由题意知AF⊥BF，AF=BF，如图所示；
EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{6}$，
易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，
连接OA，OC，有R²=AE²+OE²，R²=CF²+OF²，
∴OF²-OE²=${（\sqrt{6}）}^{2}$-2²=2，
∴（OE+OF）（OF-OE）=2，
∴OF-OE=$\frac{2}{\sqrt{6}}$；
又OF+OE=$\sqrt{6}$，
解得OF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，
∴R²=2²+${（\frac{2\sqrt{6}}{3}）}^{2}$=$\frac{20}{3}$，
所以外接球的表面积为S=4πR²=$\frac{80π}{3}$．
故答案为：$\frac{80π}{3}$．

点评 本题主要考查了球的内接几何体的相关计算问题，也考查了空间想象能力与运算求解能力，是综合题．