Question

7．已知抛物线C：y²=4x及支线l：x-y+4=0，P是抛物线C上的动点，记P到y轴的距离为d₁，p到l的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1．

Answer 1

分析 连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-1于点C．由抛物线的定义，得到d₁+d₂=（PA+PF）-1，再由平面几何知识可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d₁+d₂的最小值．

解答 解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-1于点C，
连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF，
∵P到y轴的距离为d₁，P到直线l的距离为d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-1=（PA+PF）-1，
根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，
∴F（1，0）到直线l：x-y+4=0的距离为点P到准线的距离等于$\frac{|1-0+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴PA+PF的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1，
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1．

点评 本题给出抛物线和直线l，求抛物线上一点P到y轴距离与直线l距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．