Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点$P（1，\frac{3}{2}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M的横坐标在什么范围内取值时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求弦长DE的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点$P（1，\frac{3}{2}）$．得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}-4{b}^{2}=0}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，即可；
 （2）易求得F（1，0）．设M（x₁，y₁），则圆M的方程为（x-x₁）²+（y-y₁）²=（1-x₁）²+y₁²
令x=0，化简得y²-2yy₁+2x₁-1=0，$△=4{{y}_{1}}^{2}-4（2{x}_{1}-1）$＞0即可．
（3）设D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得DE=y₁-y₂=$\sqrt{4{y}_{1}-4（2{x}_{1}-1）}$=$\sqrt{-3{{x}_{1}}^{2}-8{x}_{1}+16}$，当x₁=-$\frac{4}{3}$时，DE的最大值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点$P（1，\frac{3}{2}）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}-4{b}^{2}=0}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）易求得F（1，0）．设M（x₁，y₁），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，
圆M的方程为（x-x₁）²+（y-y₁）²=（1-x₁）²+y₁²
令x=0，化简得y²-2yy₁+2x₁-1=0，$△=4{{y}_{1}}^{2}-4（2{x}_{1}-1）$＞0…①．
将y₁²=3（1-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$）代入①，得3x${{\;}_{1}}^{2}$+8x₁-16＜0，
解出-4$＜{x}_{0}＜\frac{4}{3}$，又∵-2≤x₁≤2，∴$-2≤{x}_{1}＜\frac{4}{3}$；
（3）设D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得
DE=y₁-y₂=$\sqrt{4{y}_{1}-4（2{x}_{1}-1）}$=$\sqrt{-3{{x}_{1}}^{2}-8{x}_{1}+16}$，
当x₁=-$\frac{4}{3}$时，DE的最大值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，椭圆的性质，弦长公式，属于中档题．