Question

2．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}+d，\frac{n}{k}∉{N^*}\\ q{a_n}，\frac{n}{k}∈{N^*}\end{array}\right.$（k∈N^*，k≥2，且q、d为常数），若{a_n}为等比数列，且首项为a（a≠0），则{a_n}的通项公式为a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$．

Answer 1

分析 通过①k=2，求出的数列的首项与公差推出通项公式a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$，②若k≥3，求解a_n=a，检验是否适合题意．

解答 解：①若k=2，则a₁=a，a₂=a+d，a₃=（a+d）q，a₄=（a+d）q+d，
由${a_1}•{a_3}={a_2}^2$，得a+d=aq，由${a_2}•{a_4}={a_3}^2$，得（a+d）q²=（a+d）q+d，
联立两式，得$\left\{\begin{array}{l}d=0\\ q=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}d=-2a\\ q=-1\end{array}\right.$，则a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$，经检验均合题意．
②若k≥3，则a₁=a，a₂=a+d，a₃=a+2d，由${a_1}•{a_3}={a_2}^2$，
得（a+d）²=a（a+2d），得d=0，则a_n=a，经检验适合题意．
综上①②，满足条件的{a_n}的通项公式为a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$．
故答案为：a_n=a或${a_n}={（{-1}）^{n-1}}a$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，考查计算能力．