Question

11．数列{a_n}中，a₁=2，a _n+1=3a_n+2ⁿ，求通项．

Answer 1

分析 根据题意，对等式a_n+1=3a_n+2ⁿ变形可得a_n+1+2ⁿ⁺¹=3a_n+2ⁿ⁺¹+2ⁿ，进而可得a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），由等比数列的定义可得数列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2¹=4为首项，公比为3的等比数列，进而可得数列{a_n+2ⁿ}的通项公式，对其变形可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：根据题意，a_n+1=3a_n+2ⁿ，
则有a_n+1+2ⁿ⁺¹=3a_n+2ⁿ⁺¹+2ⁿ，
即有a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）
又由a₁=2，则a₁+2¹=4，
则数列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2¹=4为首项，公比为3的等比数列，
则有a_n+2ⁿ=4•3^n-1，
则a_n=4•3^n-1-2ⁿ，
则数列{a_n}的通项公式为：a_n=4•3^n-1-2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项的求法，关键是对数列的递推公式进行变形，分析数列{a_n+2ⁿ}是等比数列．