Question

20．设抛物线C₁：y²=2x与双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点重合，且双曲线C₂的渐近线为$y=±\sqrt{3}x$，则双曲线C₂的实轴长为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，可得c=$\frac{1}{2}$，由渐近线方程可得 $\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，再由a，b，c的关系，可得a，进而得到实轴长2a．

解答 解：抛物线C₁：y²=2x的焦点为（$\frac{1}{2}$，0），
则双曲线的c=$\frac{1}{2}$，
又渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即有$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
由c²=a²+b²，解得a=$\frac{1}{4}$，
则实轴长为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和实轴的长，考查运算能力，属于基础题．