Question

9．已知D是直角ABC斜边BC上一点，AC=$\sqrt{3}$DC，
（1）若∠DAC=30°求角B的大小；
（II）若BD=2DC，且 AD=2$\sqrt{2}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （I）在△ADC中，根据正弦定理，有$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，即可求出角B的大小；
（II）由BD=2DC，且 AD=2$\sqrt{2}$，设DC=x，则BD=2x，BC=$\sqrt{3}$x，AC=$\sqrt{3}$x，在△ABD中，由余弦定理即可求解

解答 接：（I）在△ADC中，根据正弦定理，有$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$
∵AC=$\sqrt{3}$DC，
∴sin∠ADC=$\sqrt{3}$sin∠DAC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°
∴∠ADC=120°
于是∠C=180°-120°-30°，
∴∠B=60°
（II）∵BD=2DC，且 AD=2$\sqrt{2}$，
设DC=x，则BD=2x，BC=$\sqrt{3}$x，AC=$\sqrt{3}$x
于是sinB=$\frac{AC}{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，AB=\sqrt{6}x$
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD cos B，
即（2$\sqrt{2}$）²=6x²+4x²-2x$\sqrt{6}x$x2x×$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=2x$²，
解得：x=2
故DC=2．

点评 本题考查了正弦，余弦定理的灵活运用和计算能力，属于中档题．