Question

6．已知函数f（x）=x³-2ax，若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线的含义，求出函数f（x）=x³-3ax（a∈R）的导函数，使直线与其不相交即可．

解答 解：f（x）=x³-3ax（a∈R），则f′（x）=3x²-3a
若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，f（x）′=3x²-3a与直线x+y+m=0没有交点，
又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，
则当x=0时取最小值，-3a＞-1，
则a的取值范围为a＜$\frac{1}{3}$
故答案为：（-∞，$\frac{1}{3}$）．

点评 此题考查了函数与方程的综合应用，以及函数导函数的计算，属于综合性问题，计算量小但有一定的难度，属于中等题．