Question

14．已知函数f（x）=ax+sinx的图象在某两点处的切线相互垂直，则a的值为0．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得两切点处的切线的斜率，运用两直线垂直的条件，结合二次函数的值域求法，对a讨论，考虑等式有解的条件，即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=ax+sinx的导数为f′（x）=cosx+a，
设图象上两点（m，s），（n，t），
即有两切线的斜率分别为k₁=cosm+a，k₂=cosn+a，
假设函数f（x）=ax+sinx的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直，可得k₁k₂=-1，
则（a+cosm）（a+cosn）=-1，
∴a²+（cosm+cosn）a+（cosmcosn+1）=0   （*）
因为a的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判别式△=（cosm+cosn）²-4（cosmcosn+1）≥0
所以  cos²m+cos²n-2cosmcosn=（cosm-cosn）²≥4
解得cosm-cosn≥2  或   cosm-cosn≤-2
由于|cosx|≤1，所以有cosm=1，cosn=-1  或 cosm=-1，cosn=1，且△=0
所以（*）变为：a²=0所以a=0
故答案为：0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，函数恒成立的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．