Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足${S_n}=-2{a_n}+1-\frac{1}{3^n}$，${c_n}={（{\frac{3}{2}}）^n}{a_n}$，则数列{c_n}的通项公式${c_n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{{3•{2^{n-1}}}}$．

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式求出首项，利用递推关系式，求出数列{c_n-c_n-1}是一个等比数列，然后求解即可．

解答 解：由${a_1}={S_1}=-2{a_1}+1-\frac{1}{3^1}$，解得${a_1}=\frac{2}{9}$，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{-2{a_n}+1-\frac{1}{3^n}}）-（{-2{a_{n-1}}+1-\frac{1}{{{3^{n-1}}}}}）=2{a_{n-1}}-2{a_n}$$+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}-\frac{1}{3^n}$，
解得${a_n}=\frac{2}{3}{a_{n-1}}+\frac{2}{{{3^{n+1}}}}$，
两边同时乘以$\frac{3^n}{2^n}$得${（{\frac{3}{2}}）^n}{a_n}={（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}{a_{n-1}}+\frac{{{2^{1-n}}}}{3}$，
由${c_n}={（{\frac{3}{2}}）^n}{a_n}$，所以${c_{n-1}}={（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}{a_{n-1}}$，则${c_n}={c_{n-1}}+\frac{{{2^{1-n}}}}{3}$，
所以数列{c_n-c_n-1}是一个等比数列，
所以${c_2}-{c_1}=\frac{1}{6}$，${c_3}-{c_2}=\frac{1}{12}$，${c_4}-{c_3}=\frac{1}{24}$，…，${c_n}-{c_{n-1}}=\frac{{{2^{1-n}}}}{3}$，
将上述式子相加，可得${c_n}-{c_1}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{{{2^{1-n}}}}{3}=\frac{{\frac{1}{6}（{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}）}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}（{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}）$，
而${c_1}=\frac{3}{2}•\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$，所以${c_n}=\frac{1}{3}（{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}）+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{{3•{2^{n-1}}}}$．
故答案为：${c_n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{{3•{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．