Question

13．设常数k＞1，函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}-x，0≤x＜1}\\{kf（x-1）-kx，x≥1}\end{array}\right.$，则f（x）在区间[0，2）上的取值范围为（-1，0]∪（-4k，-k]．

Answer 1

分析 首先求得函数在区间[1，2）上的解析式，然后考查函数的单调性，最后结合单调性确定函数的取值范围即可．

解答 解：当x∈[1，2）时，x-1∈[0，1），据此可得：$f（x-1）=\sqrt{1-{（x-1）}^{2}}-x$，
故 $f（x）=kf（x-1）-kx=k（\sqrt{x（2-x）}-2x）$，
据此可得函数f（x）在区间[0，1），[1，2）上单调递减，
当x=1时：$\sqrt{1-{x}^{2}}-x=-1$，$k（\sqrt{x（2-x）}-2x）=-k＜-1$，
当x=0时：$\sqrt{1-{x}^{2}}-x=1$，
当x=2时：$k（\sqrt{x（2-x）}-2x）=-4k$，
据此可得f（x）在区间[0，2）上的取值范围为：（-1，0]∪（-4k，-k]．
故答案为：（-1，0]∪（-4k，-k]．

点评 本题考查分段函数解析式的求解，函数的值域的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．