Question

7．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC+ccosA=2bcosB，b=$\sqrt{3}$
（1）求角B；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简，结合和与差的公式，即可求出B的值．
（2）利用余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB
由正弦定理，化简可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
∴sinB=2sinBcosB
∵0＜B＜π，sinB≠0
可得cosB=$\frac{1}{2}$
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由b=$\sqrt{3}$，cosB=$\frac{1}{2}$
余弦定理，cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
即a²+c²=ac+3，
∴ac+3≥2ac，当且仅当a=c时，取等号．
∴ac≤3
那么：△ABC面积S=$\frac{1}{2}$acsinB$≤\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
故得△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和基本不等式的性质的运用和计算能力．属于基础题．