Question

19．数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S_n为其前n项和，a₁，a₂，a₅成等比数列．
（Ⅰ）证明S₁，S₃，S₉成等比数列；
（Ⅱ）设a₁=1，求${a_2}+{a_4}+{a_8}+…+{a_{2^n}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出S₁，S₃，S₉，得到$S_3^2={S_1}•{S_9}$，即可证明结果．
（Ⅱ）求出数列的通项公式，利用拆项法求解数列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由题意有$a_2^2={a_1}•{a_5}$，即${（{{a_1}+d}）^2}={a_1}•（{{a_1}+4d}）$，解得d=2a₁，…（3分）
又S₁=a₁，S₃=3a₁+3d=9a₁，S₉=9a₁+36d=81a₁，…（4分）
即$S_3^2={S_1}•{S_9}$，…（5分）
又∵S₁，S₃，S₉均不为零，
所以S₁，S₃，S₉成等比数列．…（6分）
（Ⅱ）a₁=1，由（Ⅰ）可知d=2，所以a_n=2n-1，…（7分）
所以${a_{2^n}}=2•{2^n}-1$…（8分）
原式=${a_2}+{a_{2^2}}+{a_{2^3}}+…{a_{2^n}}=（{2•2-1}）+（{2•{2^2}-1}）+（{2•{2^3}-1}）+…+（{2•{2^n}-1}）$…（10分）
=2（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=$2×\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n$
=2ⁿ⁺²-n-4…（12分）

点评 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．