Question

10．已知函数f（x）=|x-a|-2|x-1|（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的最大值；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）a=3时，f（x）=|x-3|-2|x-1|，分段讨论f（x）的取值范围，从而求得f（x）的最大值；
（2）由f（x）≥0得|x-a|≥2|x-1|，两边平方化简得3x²+2（a-4）x+4-a²≤0，
讨论a的取值，求出对应不等式的解集．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-a|-2|x-1|（a∈R），
当a=3时，f（x）=|x-3|-2|x-1|，
当x≥3时，f（x）=（x-3）-2（x-1）=-x-1≤-4；
当1＜x＜3时，f（x）=（3-x）-2（x-1）=-3x+5∈（-4，2）；
当x≤1时，f（x）=（3-x）+2（x-1）=x+1≤2；
∴x=1时，f（x）取得最大值为2；
（2）由f（x）≥0得|x-a|≥2|x-1|，
两边平方得：（x-a）²≥4（x-1）²，
即3x²+2（a-4）x+4-a²≤0，
化为（x-（2-a））（3x-（2+a））≤0，
方程对应两根为2-a，$\frac{2+a}{3}$；
令2-a=$\frac{2+a}{3}$，解得a=1；
∴①当a＞1时，不等式的解集为（2-a，$\frac{a+2}{3}$）；
②当a=1时，不等式的解集为{x|x=1}；
③当a＜1时，不等式的解集为（$\frac{a+2}{3}$，2-a）．

点评 本题考查了不等式的解集与分类讨论思想的应用问题，是综合题．