已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$.其中一个顶点是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点．(1)求椭圆C的标准方程,的直线l与椭圆C相交于不同的两点A.B.过点A.B分别作椭圆的两条切线.求其交点的轨迹� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其中一个顶点是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

分析（1）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，其中一个顶点是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出椭圆在点A处的切线方程为$\frac{x{x}_{1}}{25}+\frac{4y{y}_{1}}{75}$=1，①椭圆在点B处的切线方程为$\frac{x{x}_{2}}{25}+\frac{4y{y}_{2}}{75}$=1，②，联立①②，得y=$\frac{75（{x}_{2}-{x}_{1}）}{4（{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}）}$，求出交点的轨迹方程为y=$\frac{25}{4}$．当直线l的斜率不存在时，无交点．由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程．

解答解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其中一个顶点是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点．
双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=5，c=$\frac{5}{2}$，${b}^{2}=\frac{75}{4}$，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{4{y}^{2}}{75}$=1．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设在A（x₁，y₁）处切线方程为y-y₁=k₁（x-x₁），
与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{4{y}^{2}}{75}$=1联立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{1}={k}_{1}（x-{x}_{1}）}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{4{y}^{2}}{75}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得（$4{{k}_{1}}^{2}+3$）x²+8k₁（-k₁x₁+y₁）x+4（-k₁x₁+y₁）²-75=0，
由△=0，得[8k₁（-k₁x₁+y₁）]²-4（4${{k}_{1}}^{2}$+3）[4（-k₁x₁+y₁）²-75]=0，
化简，得（$4{{x}_{1}}^{2}-100$）${{k}_{1}}^{2}-8{x}_{1}{y}_{1}{k}_{1}+4{{y}_{1}}^{2}-75=0$，
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}+\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{75}=1$，得4x₁²-100=-$\frac{16}{3}{{y}_{1}}^{2}$，4y₁²-75=-3x₁²，
∴上式化为-$\frac{16}{3}{{y}_{1}}^{2}{{k}_{1}}^{2}-8{x}_{1}{y}_{1}{k}_{1}-3{{x}_{1}}^{2}$=0，
∴（4y₁k₁+3x₁）²=0，${k}_{1}=-\frac{3{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
∴椭圆在点A处的切线方程为$\frac{x{x}_{1}}{25}+\frac{4y{y}_{1}}{75}$=1，①
同理，得椭圆在点B处的切线方程为$\frac{x{x}_{2}}{25}+\frac{4y{y}_{2}}{75}$=1，②
联立①②，消去x，得：$\frac{1-\frac{4y{y}_{1}}{75}}{1-\frac{4y{y}_{2}}{75}}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，解得y=$\frac{75（{x}_{2}-{x}_{1}）}{4（{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}）}$，
∵A、B都在直线l上，∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=k{x}_{2}+3}\\{{y}_{1}=k{x}_{1}+3}\end{array}\right.$，∴x₂y₁-x₁y₂=3x₂-3x₁，
∴y=$\frac{7（5{x}_{2}-{x}_{1}）}{4（{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}）}$=$\frac{7（5{x}_{2}-{x}_{1}）}{12（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{25}{4}$，即此时的交点的轨迹方程为y=$\frac{25}{4}$．
当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=0，则A（0，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），B（0，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
则椭圆在点A处的切线方程为y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，椭圆在B处的切线方程为y=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，此时无交点．
综上所述，过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为y=$\frac{25}{4}$．

点评本题考查椭圆的标准方程和两条切线的交点的轨迹方程的求法，考查椭圆、双曲线、直线方程、的判别式、切线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

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