Question

6．已知公比为q的等比数列{a_n}是递减数列，且满足a₁+a₃=$\frac{10}{9}$，a₁a₂a₃=$\frac{1}{27}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{3}{2}$-log₃a_n，证明：$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出${a}_{2}=\frac{1}{3}$，从而$\frac{1}{3q}+\frac{1}{3}q=\frac{10}{9}$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）推导出b_n=$\frac{3}{2}$-log₃a_n=$\frac{3}{2}-lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=n+$\frac{1}{2}$，从而$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+\frac{1}{2}）（n+\frac{3}{2}）}$=$\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$，由此利用裂项求和法能证明$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）∵公比为q的等比数列{a_n}是递减数列，且满足a₁+a₃=$\frac{10}{9}$，a₁a₂a₃=$\frac{1}{27}$．
∴${a}_{2}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{3q}+\frac{1}{3}q=\frac{10}{9}$，整理，得：3q²-10q+3=0，
解得q=$\frac{1}{3}$或q=3（舍），
∴${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$=1，
∴数列{a_n}的通项公式：${a}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
证明：（Ⅱ）∵b_n=$\frac{3}{2}$-log₃a_n=$\frac{3}{2}-lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=n+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+\frac{1}{2}）（n+\frac{3}{2}）}$=$\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\frac{5}{2}}+\frac{1}{\frac{5}{2}}-\frac{1}{\frac{7}{2}}$+$…+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$＜$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列、裂项求和法等基础知识，是中档题，解题时要注意推理论证能力、运算求解能力的培养．