Question

17．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，证明数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．两边都除以2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$．b_n+1-b_n=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{1}{2}$．即可证明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=b_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$，解得a_n=n•2^n-1．再利用错位相减法即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{1}{2}$．
∴数列{b_n}是等差数列，公差与首项都为$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=b_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$，解得a_n=n•2^n-1．
∴数列{a_n}的前n项的和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
可得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ，
解得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．