Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数不可能为（　　）

• A． 5个
• B． 6个
• C． 7个
• D． 8个

Answer 1

分析 以f（x）=1的特殊情形为突破口，解出x=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，将x+$\frac{1}{x}$-2是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$，即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}（1-x），x≤0}\\{-lo{g}_{5}（1-x），0＜x＜1}\\{-（x-2）^{2}+2，x≥1}\end{array}\right.$．
因为当f（x）=1时，
x=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，
则当a=1时，
x+$\frac{1}{x}$-2=1或3或$\frac{4}{5}$或-4，
又因为 x+$\frac{1}{x}$-2≥0
或x+$\frac{1}{x}$-2≤-4，
所以，当x+$\frac{1}{x}$-2=-4时只有一个x=-2与之
对应．
其它情况都有2个x值与之对应，
故此时所求的方程有7个根，
当1＜a＜2时，y=f（x）与y=a有4个交点，
故有8个根；
当a=2时，y=f（x）与y=a有3个交点，
故有6个根；
综上：不可能有5个根，
故选：A．

点评 本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．