Question

2．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，AC=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，D、E分别是A₁B₁、CC₁的中点．
（1）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（2）求直线BC₁与平面A₁BE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明C₁D∥平面A₁BE．
（2）求出平面A₁BE的法向量，利用向量法能求出直线BC₁与平面A₁BE所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，AC=CB=CC₁=2，
∠ACB=90°，D、E分别是A₁B₁、CC₁的中点，
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B（0，2，0），E（0，0，1），B₁（0，2，2），D（1，1，2），
$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-2，0，-1），
设平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=-2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=-2x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}D}$•$\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，C₁D?平面A₁BE，
∴C₁D∥平面A₁BE．
解：（2）C₁（0，0，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），
平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
设直线BC₁与平面A₁BE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|0+2-4|}{\sqrt{4+4}•\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线BC₁与平面A₁BE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．