Question

14．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-ax（a$＞\frac{1}{2}$），当x∈（-2，0）时，f（x）的最小值为2，则a的值等于（　　）

• A． e
• B． 1
• C． $\frac{2}{e}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为-2，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．

解答 解：∵f（x）是奇函数，x∈（-2，0）时，f（x）的最小值为2，
∴f（x）在（0，2）上的最大值为-2．
当x∈（0，2）时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{a}$，又a＞$\frac{1}{2}$，∴0＜$\frac{1}{a}$＜2，
令f′（x）＞0，则x＜$\frac{1}{a}$，∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上递增；令f′（x）＜0，则x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（$\frac{1}{a}$，2）上递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-a•$\frac{1}{a}$=-2，∴ln$\frac{1}{a}$=-1，得$\frac{1}{a}$=e^-1，a=e，
故选：A．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．