Question

6．已知等比数列{a_n}中，a_n+1＞a_n，且满足：a₂+a₄=20，a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{{\frac{1}{2}}_{\;}}$a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=a_nlog${\;}_{{\frac{1}{2}}_{\;}}$a_n=-n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q＞1）
由已知条件，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$
∴${a}_{n}={2}^{n}$
（2）b_n=a_nlog${\;}_{{\frac{1}{2}}_{\;}}$a_n=-n•2ⁿ，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
则2S_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即数列{b_n}的前项和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，属于中档题．