Question

9．设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R；命题q：不等式$\sqrt{2x+1}$＜1+ax对一切正实数均成立，如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是[1，2]．

Answer 1

分析 p为真?ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0在R上恒成立，推导出a＞2；q为真?a＞$\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$对一切正实数x均成立，推导出a≥1．由命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，知p，q一真一假．由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R，
∴p为真?ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0在R上恒成立．
当a=0时，x＜0，解集不为R
∴a≠0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{1}{4}{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2．
∴P为真?a＞2．
∵命题q：不等式$\sqrt{2x+1}$＜1+ax对一切正实数均成立，
∴q为真?a＞$\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$对一切正实数x均成立，
∵x＞0，∴$\sqrt{2x+1}$＞1，∴$\sqrt{2x+1}+1＞2$，
∴$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$＜1，
∴q为真?a≥1．
∵命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，∴p，q一真一假．
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，无解；
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥1}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评 本题考查实数的取值的求法，考查对数函数、不等式性质、复合命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．