Question

19．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且a²+c²=b²+ac．
（1）若cosA=$\frac{1}{3}$，求sinC的值；
（2）若b=$\sqrt{7}$，a=3c，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据a²+c²=b²+ac．由余弦定理求出cosB，cosA=$\frac{1}{3}$，在求解sinA，sinB，根据sinC=sin（B+A）打开即可求解．
（2）由a²+c²=b²+ac．b=$\sqrt{7}$，a=3c，根据余弦定理求解a，c的值，即可求出三角形ABC的面积．

解答 解：∵a²+c²=b²+ac，
由余弦定理，cosB=$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
又B为三角形内角，
则B=$\frac{π}{3}$．
（1）∵cosA=$\frac{1}{3}$，且A为三角形内角，则sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故sinC=sin（B+A）=sin（$\frac{π}{3}$+A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．
（2）由a=3c，b=$\sqrt{7}$，由余弦定理知：b²=a²+c²-2accosB，
则7=9c²+c²-3c²，
解得c=1，则a=3．
故得三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC的面积的计算．属于基础题．