Question

8．等差数列{a_n}各项均为正整数，满足：a_n+1＞a_n且a₁a₂-8a₁+a₂-13=0，数列{b_n}满足${b_n}={n^2}（n∈{N^*}）$，数列{a_n}与{b_n}所有公共项由小到大排列得到数列{c_n}，数列{d_n}满足${d_n}=\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}}$，则4d_n-c_2n-1的最大值为2．

Answer 1

分析 根据等差数列的性质即可求出数列a_n的通项公式，再根据b_n的通项公式，归纳出数列{c_2n-1}的通项公式，再利用放缩法求出d_n，构造函数f（n）=4d_n-c_2n-1=-25n²+36n-9，根据数列的单调性即可求出最大值

解答 解∵a₁a₂-8a₁+a₂-13=0，
∴（a₁+1）（a₂-8）=5=1×5，
∵等差数列{a_n}各项均为正整数，
∴a₁+1≥2，
∴a₁+1=5，a₂-8=1
解得a₁=4，a₂=9，
∴公差d=9-4=5
∴a_n=5n-1，
∴数列{a_n}为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，…，
∵b_n=n²，则为1，4，9，16，25，36，49，…，
∵数列{a_n}与{b_n}所有公共项由小到大排列得到数列{c_n}，
∴{c_n}为4，9，49，64，144，169，…，
∴c_2n-1=（5n-3）²，
∵数列{d_n}满足${d_n}=\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{{{b_{n+1}}}}}}$
∵1+$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$≤1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{（1+1）^{2}}$=$\frac{9}{4}$，
∴d_n≤$\frac{3}{2}$n，
∴4d_n-c_2n-1=6n-（5n-3）²=-25n²+36n-9，
设f（n）=-25n²+36n-9，可知f（n）属于单调递减数列，
则f（n）≤f（1）=6-4=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了数列的通项公式以及数列的求和和放缩法，以及数列的单调性，考查了转化能力，运算能力，属于难题