Question

10．（I）利用向量数量积证明：对任意α，β∈R，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（II）利用（I）的结论，并给结合诱导公式证明：对任意α，β∈R，都有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Answer 1

分析 （I）设出α、β的终边分别与单位圆的交点为A、B，所以$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$、$\overrightarrow{OB}=（cosβ，sinβ）$，记$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，利用向量数量积证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（II）利用第一问的结果，通过诱导公式化简求解即可．

解答 （本题满分12分）
（I）设α、β的终边分别与单位圆的交点为A、B，
所以$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$、$\overrightarrow{OB}=（cosβ，sinβ）$，
记$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=cosαcosβ+sinαsinβ$，$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，…（4分）
则α=2kπ+β±θ，即α-β=2kπ±θ（k∈Z），
（或|α-β|=2kπ+θ（k∈Z）），…（6分）
$cos（α-β）=cos（2kπ±θ）=cosθ=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|}}$=cosαcosβ+sinαsinβ，
即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．…（8分）
（II）$sin（α+β）=cos（{\frac{π}{2}-（α+β）}）=cos（{（\frac{π}{2}-α）-β）}）$…（10分）
=$cos（\frac{π}{2}-α）cosβ+sin（\frac{π}{2}-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ$．

点评 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的证明，考查转化思想以及计算能力．