Question

14．已知如图所示的多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=$\frac{π}{3}$．若BF=BD=2，则多面体的体积$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AC，AC∩BD=O，推导出AC⊥BD，ED⊥AC，从而AO为四棱锥ABDEF的高，再求出△ABD为等边三角形，S_{四边形BDEF}=4，由此能求出多面体的体积．

解答 解：如图，连接AC，AC∩BD=O．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以ED⊥AC．
因为ED，BD?平面BDEF，且ED∩BD=D，
所以AC⊥平面BDEF，所以AO为四棱锥ABDEF的高．
又因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
所以△ABD为等边三角形．
又因为BF=BD=2，所以AD=2，AO=$\sqrt{3}$，S_{四边形BDEF}=4，
所以V_{四棱锥ABDEF}=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，即多面体的体积为$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．