Question

4．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，S是A₁C₁的中点，M是SD上的点，且SD⊥MC．
（1）求证：SD⊥面MAC
（2）求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连BD，设AC交于BD于O，以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{SO}$所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系O-xyz，求出向量证明$\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{AC}=0$，推出AC⊥SD，结合SD⊥MC，证明SD⊥面MAC．
（2）求出平面SAB的法向量，平面SCD的法向量，利用向量的数量积求解两个法向量的夹角余弦值，得到平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）证明：由题意可知，SA=SB=SC=SD，连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{SO}$所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系O-xyz如图，

则高SO=1，于是S（0，0，1），D（$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，0，0），A（0，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，0），C（0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，0），所以$\overrightarrow{SD}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，-1}）$，$\overrightarrow{AC}=（{0，\sqrt{2}，0}）$，所以$\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{AC}=0$，即AC⊥SD，又因为SD⊥MC，所以SD⊥面MAC…（5分）
（2）根据题意可知，$B=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，0}）$，$\overrightarrow{SD}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，-1}）$，$\overrightarrow{SA}=（{0，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1}）$，$\overrightarrow{SC}=（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1}）$，则$\overrightarrow{SB}=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，-1}）$，
设平面SAB的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{SB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{SA}=0\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_1}-{z_1}=0\\-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_1}-{z_1}=0\end{array}\right.$，所以解得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_1}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_1}={z_1}$，
令$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_1}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_1}={z_1}=1$，解得${x_1}=\sqrt{2}，{y_1}=-\sqrt{2}$，
所以法向量$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，1）$，…（7分）
设平面SCD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{SD}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{SC}=0\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_2}-{z_2}=0\\ \frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_2}-{z_2}=0\end{array}\right.$，所以解得$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_2}={z_2}$，
令$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_2}={z_2}=1$，解得${x_2}=-\sqrt{2}，{y_2}=\sqrt{2}$，
所以法向量$\overrightarrow{n_2}=（-\sqrt{2}，\sqrt{2}，1）$，…（9分）
所以$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}=-3$，$|{\overrightarrow{n_1}}|=|{\overrightarrow{n_2}}|=\sqrt{5}$，所以两个法向量的夹角余弦值为$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=-\frac{3}{5}$…（11分）
所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为$\frac{3}{5}$…（12分）

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，直线与平面垂直的判断，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．